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42 und ihre Nähe zu Primzahlen

Dienstag, 14. Juli 2009 von Jedi

(siehe 37, 41, 43, 47)

Die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Univserum und dem ganzen Rest ist bekanntlich 42. Wenn man also vor die Frage gestellt wird, welche Primzahlen es gibt, so ist es naheliegend, von 42 auszugehen.

Schnell wird man feststellen, dass Zahlen der Form 5+42k häufig Primzahlen sind. Die 5 ist dabei nicht willkürlich gewählt, sondern die Primzahl, welche die geringste Differenz zur Quersumme von 42 aufweist, ohne dabei 42 zu teilen.

Die Formel liefert offensichtlich für k=5j keine Primzahlen. Für alle anderen k<20, für die 5+42k keine Primzahl ist, lassen sich relativ intuitiv erklären:

5+42\cdot 7=299=13\cdot 23, wobei 13+23=42-(4+2) ist.
5+42\cdot 8=347=11\cdot 31, wobei 11+31=42 ist.
5+42\cdot 13=551=19\cdot 29, wobei 19+29=42+(4+2) ist.
5+42\cdot 19=803=11\cdot 73, wobei 11+73=42+42 ist.

Die Primzahldichte der Formel nimmt leider immer weiter ab, je größer k. Bei k<100.000 liefert sie immerhin noch zu mehr als 20\% Primzahlen.

Eine etwas weniger elegante, dafür dichtere Formel ist n^2-n+41. Diese liefert tatsächlich für die ersten 42 n, nämlich für n\in\{0,\dots,41\} ausschließlich Primzahlen.

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Ich will aber die Ziege!

Freitag, 01. Mai 2009 von Jedi

Persönlich finde ich Ziegen (natürlich neben Pinguinen) ja süß, entsprechend muss ich hier ein oft erklärtes Problem einmal von einer anderen Seite beleuchten.

Definition 1.0
Sei O die Menge aller Objekte, alles Sichtbaren und Unsichtbaren. So bezeichnen wir ein m\in O als Hauptgewinn, genau dann, wenn m\in M=\{w\in O| w=\text{Ziege} \vee w=\text{Pinguin}\}\subset O.
Ferner bezeichnen wir ein o\in O\cap M^c als Niete.

Gehen wir also davon aus, dass sich bei einer Gameshow hinter n Toren genau ein Hauptgewinn und n-1 Nieten befinden. Der Kandidat wird aufgefordert, eines der Tore zu wählen. Mit der Absicht, den Hauptgewinn zu erwischen, kommt der Kandidat dieser Aufforderung nach und wählt Tor k.

Korrolar 1.1
Die Chance, dass der Kandidat das Tor mit dem Hauptgewinn auswählt, liegt bei p_0=\frac{1}{n}.

Bevor der Kandidat erfährt, ob er tatsächlich das Tor mit dem Hauptgewinn gewählt hat, werden vom Moderator, der genau weiß, wo sich der Hauptgewinn befindet, die vom Kandidaten nicht gewählten Tore r_1,\dots,r_{n-2}, hinter denen sich nicht der Hauptgewinn befindet, geöffnet. Nachdem der Kandidat die Nieten hinter den Toren r_1,\dots,r_{n-2} gesehen hat, wird er aufgefordert, zu entscheiden, ob er bei seiner ursprünglichen Wahl - und damit Tor k - bleibt, oder ob er sich für das andere übrig gebliebene Tor j entscheidet.

Lemma 1.2
Seien j,k wie zuvor definert. Entscheidet sich der Kandidat endgültig für Tor T\in{j,k}, so liegt seine Gewinnchance bei
p=\begin{cases}p_0 & T=k \\1-p_0 & T=j\end{cases}

Beweis
Sei p_0 unverändert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Hauptgewinn hinter Tor k befindet. Sei weiter p_1 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Hauptgewinn hinter einem der Tore r_1,\dots,r_{n-2},j befindet. Offensichtlich gilt p_1 = 1-p_0.
Die Wahrscheinlichkeiten p_0,p_1 ändern sich nicht. Aber mit der Information, dass sich hinter den Toren r_1,\dots,r_{n-2} Nieten befinden, ist p_1 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich hinter Tor j der Hauptgewinn befindet.

Beispiel 1.3

  1. Sei n=100. Der Kandidat wählt ein Tor. Der Moderator öffnet alle anderen Tore, bis auf eines (nur Nieten sind zu sehen). Der Kandidat darf nun zwischen dem zuerst gewählten und dem einzigen anderen geschlossenen Tor noch einmal wählen. Anzunehmen, die erste Wahl hätte zum Hauptgewinn geführt, ist waghalsig. Die Chance hierfür lag nur bei p_0=0,01. Dagegen liegt die Chance, dass eines der anderen Tore zum Hauptgewinn führt bei p_1=0,99. Da nur noch eines der anderen Tore übrig bleibt, sollte dieses gewählt werden.
  2. Sei n=3. Der Kandidat wählt wieder eines der drei Tore, der Moderator öffnet ein anderes - eine Niete. Bleibt der Kandidat bei seiner ursprünglichen Entscheidung, so auch bei seiner ursprünglichen Gewinnchance p_0=\frac{1}{3}. Wechselt er zum anderen Tor, verdoppelt sich seine Gewinnchance.

Als Erklärung zur Einleitung sollte vielleicht erwähnt werden, dass in den meisten Fällen, wenn dieses Problem dargestellt wird, die armen Ziegen als Nieten herhalten müssen. Hauptgewinne sind dann meistens Autos.

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