Archiv für den Monat Juli 2009

42 und ihre Nähe zu Primzahlen

Dienstag, 14. Juli 2009 von Jedi

(siehe 37, 41, 43, 47)

Die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Univserum und dem ganzen Rest ist bekanntlich 42. Wenn man also vor die Frage gestellt wird, welche Primzahlen es gibt, so ist es naheliegend, von 42 auszugehen.

Schnell wird man feststellen, dass Zahlen der Form 5+42k häufig Primzahlen sind. Die 5 ist dabei nicht willkürlich gewählt, sondern die Primzahl, welche die geringste Differenz zur Quersumme von 42 aufweist, ohne dabei 42 zu teilen.

Die Formel liefert offensichtlich für k=5j keine Primzahlen. Für alle anderen k<20, für die 5+42k keine Primzahl ist, lassen sich relativ intuitiv erklären:

5+42\cdot 7=299=13\cdot 23, wobei 13+23=42-(4+2) ist.
5+42\cdot 8=347=11\cdot 31, wobei 11+31=42 ist.
5+42\cdot 13=551=19\cdot 29, wobei 19+29=42+(4+2) ist.
5+42\cdot 19=803=11\cdot 73, wobei 11+73=42+42 ist.

Die Primzahldichte der Formel nimmt leider immer weiter ab, je größer k. Bei k<100.000 liefert sie immerhin noch zu mehr als 20\% Primzahlen.

Eine etwas weniger elegante, dafür dichtere Formel ist n^2-n+41. Diese liefert tatsächlich für die ersten 42 n, nämlich für n\in\{0,\dots,41\} ausschließlich Primzahlen.

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